正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．

最小の合同数は直角三角形（３／２，２０／３，４１／６）の面積５である．１は合同数ではない．

　（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が整数解でｙ≠０のものをもつことである．

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　　ｘ^2−ｎ＝ｙ^2，ｘ^2＋ｎ＝ｚ^2を同時に満たす有理数ｘ，ｙ，ｚが存在するような整数ｎを合同数とよぶ．

　　（４１／６）^2＝（２０/３）^2+（３/２）^2

1/2・２０/３・３/２＝５

2・２０/３・３/２＝20

　　（４１／６）^2+20＝（２０/３+３/２）^2=(49/6)^2

　　（４１／６）^2-20＝（２０/３-３/２）^2=(31/6)^2

　　（４１／12）^2+5＝（49/12）^2

　　（４１／12）^2-5＝（31/12）^2

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5^2=3^2+4^2

1/2・3・4＝6

5^2+24=(3+4)^2

5^2-24=(3-4)^2

(5/2)^2+6=(7/2)^2

(5/2)^2-6=(1/2)^2

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13^2=5^2+12^2

1/2・5・12＝30

13^2+120=(5+12)^2

13^2-120=(5-12)^2

(13/2)^2+30=(17/2)^2

(13/2)^2-30=(7/2)^2

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面積と周長の等しいピタゴラス三角形が２つある

(5,12,13) 面積と周長は30

(6,8,10) 面積と周長は24

10^2=6^2+8^2

1/2・6・8＝24

10^2+96=(6+8)^2

10^2-96=(6-8)^2

(5)^2+24=(7)^2

(5)^2-24=(1)^2

(3,4,5) の面積は周長の半分の6

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