橋本義武「正多面体と素数」放送大学教育振興会

では正多面体の頂点・辺の中点・面の中心に対応する外接球面上の点を、複素数平面上に立体射影して、

それらを根とする多項式を求めている。

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　　　　　V（頂点数)　　　　　E（辺数）　　　　　F（面数）

正四面体　　　４　　　　　　　　６　　　　　　　　　４　　

立方体　　　　８　　　　　　　　１２　　　　　　　　６

正八面体　　　６　　　　　　　　１２　　　　　　　　８

正12面体　　　２０　　　　　　　３０　　　　　　　　１２

正20体　　　　１２　　　　　　　３０　　　　　　　　２０

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１を引いてみるとすべて素数になっている。

　　　　　V（頂点数)-1　　　　　E（辺数）-1　　　　　F（面数）-1

正四面体　　　３　　　　　　　　５　　　　　　　　　３　　

立方体　　　　７　　　　　　　　１１　　　　　　　　５

正八面体　　　５　　　　　　　　１１　　　　　　　　７

正12面体　　　１９　　　　　　　２９　　　　　　　　１１

正20体　　　　１１　　　　　　　２９　　　　　　　　１９

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１を引いてみるとすべて素数あるいは素数の２乗になっている。

　　　　　　V+F-1　　　　　　　V+E-1　　　　　　　E+F-1　　　　　V+E+F-1

正四面体　　　７　　　　　　　　９　　　　　　　　　９　　　　　　１３　　　

立方体　　　　２５　　　　　　　１９　　　　　　　　１７　　　　　１３

正八面体　　　１３　　　　　　　１７　　　　　　　　１９　　　　　２５

正12面体　　　６１　　　　　　　４９　　　　　　　　４１　　　　　３１

正20体　　　　３１　　　　　　　４１　　　　　　　　４９　　　　　６１

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これには気づかなかった。単なる偶然だろうか、あるいは、幾何学的なバックグラウンドがあるのだろうか？

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【１】正八面体多項式

[1]頂点を∞に立体射影する場合

頂点を根とするモニック多項式ｘ^5-ｘの次数は５である

面心８点を根とするモニック多項式ｘ^8＋７・２ｘ＋１の７は素数であり、中間項（最高次・最低次以外の項）の係数は７で割り切れる。

頂点と面心を根とするモニック多項式ｘ^13+13ｘ^9-13ｘ^5-ｘの次数13は素数であり、中間項（最高次・最低次以外の項）の係数は13で割り切れる。

辺心12点を根とするモニック多項式ｘ^12-11・3ｘ^8-11・3ｘ^4＋１の11は素数であり、中間項（最高次・最低次以外の項）の係数は11で割り切れる。

頂点と辺心を根とするモニック多項式ｘ^17+17・2ｘ^13-17・2ｘ^5-ｘの次数17は素数であり、中間項（最高次・最低次以外の項）の係数は17で割り切れる。

辺心と面心を根とするモニック多項式ｘ^20-19ｘ^16-19・26ｘ^12-19・26ｘ^8-19ｘ^4-ｘの19は素数であり、中間項（最高次・最低次以外の項）の係数は19で割り切れる。

頂点と辺心と面心を根とするモニック多項式ｘ^25-5・4ｘ^21-5^2・19ｘ^17+5^2・19ｘ^9-5・4ｘ^5-ｘの次数25は素数5の2乗であり、中間項（最高次・最低次以外の項）の係数は5で割り切れる。

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