12は自分自身を除く約数の積が平方数になる（それ自身の平方である）最小の数である。

2・3・4・6=144＝12＾2

6個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p5=p^6/(p-1)

p＝2とおくとp^5=2^5=32

(1+p)(1+q+・・・+q^2)=(p^2-1)/(p-1)・(q^3-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^2=3・（2＾2）＝14

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24は自分自身を除く約数の積が3乗数になる（それ自身の３乗である）最小の数である。

2・3・4・6・8・12=13824＝24＾3

その次は40

2・4・5・8・10・20=40^3

8個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p7=p^8/(p-1)

p＝2とおくとp^7=2^7=128

(1+p)(1+q+・・・+q^3)=(p^2-1)/(p-1)・(q^4-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^3=3・（2＾3）＝24

その次はq=2,p=5とおくと5・q^3=5・（2＾3）＝40

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48は自分自身を除く約数の積が4乗数になる（それ自身の4乗である）最小の数である。

2・3・4・6・8・12・16・24=5308416＝48＾4

その次は80

2・4・5・8・10・16・20・40=80^4

10個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p9=p^10/(p-1)

p＝2とおくとp^9=2^9=512

(1+p)(1+q+・・・+q^4)=(p^2-1)/(p-1)・(q^6-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^4=3・（2＾4）＝48

その次はq=2,p=5とおくと5・q^4=5・（2＾4）＝80

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120の約数は1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40,60，120の16個の約数を持つ。

その約数の和はσ(120)=360で、3倍完全数となっている。

自分自身を除く約数の積は,

2・60=120

3・40=120

4・30＝120

5・24=120

6・20=120

8・15=120

10・12＝120

自分自身を除く約数の積が7乗数になる

60の約数は1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60の約数を持つ。

2・30=60

3・20=60

4・15＝60

5・12=60

6・10=60

自分自身を除く約数の積が5乗数になる

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96の約数は1，2，3，4，6，8，12，16、24、32，48の約数を持つ。

2・48=96

3・32=96

4・24＝96

6・16=96

8・12=96

自分自身を除く約数の積が5乗数になる

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約数の数を更新する合成数は、小さいほうから

2(2),4(3),6(4),12(6),24(8),36(9),48(10),60(12),120(16),180(18),240(20),360(24)

720(30),840(32),1260(36),1680(40),2520(48),5040(60),・・・

自分自身を除く約数の積が6乗数になるXX(14)はみつからないのである。

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12個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p11=p^12/(p-1)

p＝2とおくと2^11=2048

(1+p)(1+q+・・・+q^5)=(p^2-1)/(p-1)・(q^6-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとpq^5=3・（2＾5)＝96

(1+p+p^2)(1+q+・・・+q^3)=(p^3-1)/(p-1)・(q^4-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp^2q^3=9・（2＾3)＝72

(1+p)(1+q)(1+r+r^2)=(p^2-1)/(p-1)・(q^2-1)/(q-1)・(r^3-1)/(r-1)

最小の数はr=2,q=3,p=5とおくとpqr^2=5・3・2^2＝60

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