ｘ^2−ｎ＝ｙ^2，ｘ^2＋ｎ＝ｚ^2を同時に満たす有理数ｘ，ｙ，ｚが存在するような整数ｎを合同数とよぶ．

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【１】フィボナッチの合同数

　　ｘ^2−５＝ｙ^2，ｘ^2＋５＝ｚ^2

すなわち，ある有理数の平方に５を引いても５を足しても平方数となる有理数を見つけよという問題に，フィボナッチは解ｘ＝４１／１２を与えた．

　　（４１／１２）^2−５＝（３１／１２）^2

　　（４１／１２）^2＋５＝（４９／１２）^2

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

立方数の和と和の平方は等しい

　　Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

も，フィボナッチに帰されるが，合同数により彼は有名になったといわれている．

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［Ａ］ピタゴラスの三角形（ａ，ｂ，ｃ）を考える．

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　　ｃ^2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）^2

　　ｃ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　したがって，２ａｂ＝５ｋ^2となる（ａ，ｂ，ｃ，ｋ）を探せばよい．または

　　ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2

となるので，

　　２（ｍ^2−ｎ^2）（２ｍｎ）＝５ｋ^2

となる（ｍ，ｎ，ｋ）を探せばよい．

　ｎ＝１として，ｍ＝２→３→４→・・・を代入すると

　　（ｍ，ｎ，ｋ）＝（９，１，２４）

　　（ａ，ｂ，ｃ，ｋ）＝（８０，１８，８２，２４）

　これより，答えのひとつはｃ／ｋ＝８２／２４＝４１／１２

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　ｘ＝４１／１２の次の解は

　　ｘ＝１１１８３４１２７９２９２１／２２３４１１６１３２４１６

となる．

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　　（４１／６）^2＝（２０/３）^2+（３/２）^2

1/2・２０/３・３/２＝５

2・２０/３・３/２＝20

　　（４１／６）^2+20＝（２０/３+３/２）^2=(49/6)^2

　　（４１／６）^2-20＝（２０/３-３/２）^2=(31/6)^2

　　（４１／12）^2+5＝（49/12）^2

　　（４１／12）^2-5＝（31/12）^2

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［補］正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．

最小の合同数は直角三角形（３／２，２０／３，４１／６）の面積５である．１は合同数ではない．

　（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が整数解でｙ≠０のものをもつことである．

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