ｎ角形２枚と２角形ｎ枚よりなるｎ＋２面体を考える。

２角形の内角をθとすると面積は2θ

になる。

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ｎ角形の内角をAとする。

とりあえずｎ＝5とするが、５角形の面積はＳ＝5Ａ−３π

２枚で10Ａ−６π　

２角形の内角はπ-Aであるから、面積は2π-2A

5枚で10π-10Ａ

これではどのようなｎでもどのようなAでも製作可能になるわけであるが、そのような構造は可能なのだろうか？

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ｎ角形の面積はＳ＝ｎＡ−（ｎ-2）π

２枚で2nＡ−2(n-2)π　

２角形の内角はπ-Aであるから、面積は2π-2A

n枚で2nππ-2nＡ

面積の合計は4πとなる。

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試作してみると、ねじれて折れてしまった。

上のn角形に外接する円を(cos（2πi/n),sin（2πi/n),h)

下のn角形に外接する円を(cos（2πi/n+πi/n),sin（2πi/n+πi/n),-h)

外接球をx^2+y^2+z^2=r^2とおくと

1+h^2=r^2

外接球をx^2+y^2+z^2=1+h^2

A(1,0,h)

B(cos(2π/n),sin(2π/n),h)

C (-1,0,-h)

D(-cos(2π/n),-sin(2π/n),-h)

これらの４点がすべて原点を通る平面

x+by+cz=0

1+ch=0,c=-1/h

cos(2π/n)+bsin(2π/n)-1=0

b=[1-cos(2π/n)]/sin(2π/n)=tan(π/n)

平面の方程式x+tan(π/n)y-z/ｈ=0上にある

ベクトルの内積は、AB,CDはおなじで

cosα=[cos(2π/n)+h^2]/[1+h^2]=[cos(2π/n)+r^2-1]/[r^2]

BCはπ−α

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n=3のときα＝π/2を基準とすれば

0＝[r^2-3/2]/[r^2],r^2=3/2

cosα=[2cos(2π/n)+1]/3

n=3のときcosα=0

n=4のときcosα=1/3

n=6のときcosα=2/3

n=3のときα=90度

n=4のときα=70.5288度

n=5のときα=57.361度

n=6のときα=48.1897度

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やはり、ねじりｎ方二面体はｎ角形の大きさに関係なく無限にあるようです。

発泡スチロールのボールに輪ゴムで適当に巻いてみてもできます。

α、１８０−α、α　でいいのですが、１つに決まってしまうというのはなにか余分な条件を付けられたのではないでしょうか？

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ｒ優先で計算してみるとｒ＞1であるから

r＾2=2の場合、

cosα=[cos(2π/n)+1]/[2]

n=3のときα=75.5225

n=4のときα=60

n=5のときα=49.1176

n=6のときα=41.4096

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r＾2=4/3の場合、

cosα=[cos(2π/n)+1/3]/[4/3]＝[3cos(2π/n)+1]/[4]

n=3のときα=97.1806

n=4のときα=75.5225

n=5のときα=61.1996

n=6のときα=51.3178

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α=60優先で計算してみると

cosα=[cos(2π/n)+r^2-1]/[r^2]＝1/2

2cos(2π/n)+2r^2-2=r^2

r^2=-2cos(2π/n)+2

n=3のときr^2=3

n=4のときr^2=2

n=5のときr^2=2-1/φ＝3-φ

n=6のときr^2=1・・・NG

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rsin(α/2)=sin(π/n)が成り立つと思われる。

n=3のとき,α=90

r√2/2=√3/2

ｒ＝√3/√2・・・Ｏｋ

[r^2]cosα=[cos(2π/n)+r^2-1]

{sin（π/ｎ）/sin(α/2）}^2・cosα=[cos(2π/n)+｛sin（π/ｎ）/sin(α/2）｝^2-1]

{sin（π/ｎ）}^2・cosα=[cos(2π/n){sin(α/2)｝^2+｛sin（π/ｎ）}^2-{sin(α/2）}^2]

{sin（π/ｎ）}^2・cosα+{sin(α/2）}^2-[cos(2π/n){sin(α/2)｝^2=｛sin（π/ｎ）}^2]

{sin（π/ｎ）}^2・cosα+{1-cos^2（π/ｎ）}(1-cosα)=｛sin（π/ｎ）}^2]

{sin（π/ｎ）}^2・cosα+{sin（π/ｎ）}^2(1-cosα)=｛sin（π/ｎ）}^2]

恒等式になってしまう

同じピースでで何でも作れるということだと思います。　（佐藤郁郎）

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結局ｒ優先にしたければ

sin(α/2)=sin(π/n)/ｒ

からαを求める。

α優先にしたければ

ｒ＝sin(π/n)/sin(α/2)

からｒを求める

ｎ＝3のとき、α＝90,r^2=3/2を参考にする、ということだろう

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