たとえば，ｍ＝５，ｎ＝−５とすると

　　Ｆ＝ｍｘ^2ｙ−ｎｙｘ2−（ｘ−ｙ）ｚ^2

　　　＝５ｘ1^2ｘ2＋５ｘ1ｘ2^2＋ｘ1ｘ0^2−ｘ2ｘ0^2＝０

この上の点Ｐ＝（ｘ）＝（ｘ0，ｘ1，ｘ2）＝（３０，４，５）とすると，

　　２Ｐ＝（６２２７９，１１５３２，２８８１２）

　次に

　　φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｙ（ｚ^2−ｍｘ^2）＝ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2），２ｘｙｚ，ｙ（ｚ^2＋ｍｘ^2），ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2））

を用いて，整数点φ（Ｐ），φ（２Ｐ）を計算すると，

　　φ（Ｐ）＝（４１，１２，４９，３１）

　　　→４１^2＋５・１２^2＝４９^2

　　　　４１^2−５・１２^2＝３１^2

　　φ（２Ｐ）＝（３３４４１６１，１４９４６９６，４７２８００１，−１１３２７９）

　　　→３３４４１６１^2＋５・１４９４６９６^2＝４７２８００１^2

　　　　３３４４１６１^2−５・１４９４６９６^2＝（−１１３２７９）^2

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　この節の最後に，オイラーによる楕円曲線：ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄの解法を紹介しましょう．

　ｄ＝ｆ^2とする．ｇを未知数として，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｆ^2＝（ｇｘ＋ｆ）^2なる関係を考える．ｃ＝２ｆｇになるようにｇを定めれば，ａｘ＋ｂ＝ｇ^2．したがって，

　　ｘ＝（ｇ^2−ｂ）／ａ＝（ｃ^2−４ｂｆ^2）／４ａｆ^2

なる有理数解を得る．

　手品のようですが，幾何学的に考えると

　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ^2−ａｘ^3−ｂｘ^2−ｃｘ−ｆ^2

の点（０，ｆ）における接線の方程式は−ｃｘ＋２ｆ（ｙ−ｆ）＝０．ここで，ｃ＝２ｆｇと定めるとｙ＝ｇｘ＋ｆになる．曲線は３次で，接点では２重に交わるから，第３の交点（有理点）が１つ決まるのです．

　　ｙ^2＝ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ

では，ｅ＝ｆ^2，ｄ＝２ｇｆ，ｃ＝ｇ^2＋２ｈｆとおくと，ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｆ^2＝（ｈｘ^2＋ｇｘ＋ｆ）^2より，ａｘ＋ｂ＝ｈ^2＋２ｈｇ．したがって，

　　ｘ＝（ｂ−２ｈｇ）／（ｈ^2−ａ）

なる解が得られます．

　　ｙ^3＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

の場合も同様に解くことができますが，これらの方法は実質的にはディオファントスまでさかのぼることができます．【１】フィボナッチの問題

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［補］正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．最小の合同数は直角三角形（３／２，３０，３，４１／６）の面積５である．１は合同数ではない．

　（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が整数解でｙ≠０のものをもつことである．

　合同数問題における整数Ａの性質と楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘとの関連については

　　J.S.Chahal「数論入門講義」共立出版

を参照されたい．

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