自明な１は別にして、フィボナッチ数でかつ平方数となる、知られている唯一の数は１４４である。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144・・・１２番目のフィボナッチ数

このタイプの数ｎ^2はｎ番目のフィボナッチ数になっていることを前提とすると、フィボナッチ数Ｆnは

　　Ｆn〜φ^n/√５

であるから、フィボナッチ数かつ平方数が存在するのは

　　ｎ^2〜φ^n/√５

となるようなｎが小さい範囲に限定される。

したがって、フィボナッチ数かつ平方数は１４４だけであることがわかる。

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(n-1)^2＜φ^n/√５＜(n+1)^2

φ^n-1/√５＜ｎ^2＜φ^n-1/√５を満たすｎを探索すればよいのだろうか？

(n-1)^2＜φ^n/√５＜(n+1)^2

はn=12しか、間に入らない

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１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝=Fn

　　φ^nFn＝１／√５｛φ^2n−（−１）^n｝

　　√５φ^nFn＝｛φ^2n−（−１）^n｝

nが偶数のとき　　√５φ^nFn＝｛φ^2n-1｝

nが奇数のとき　　√５φ^nFn＝｛φ^2n+1｝

（有効かどうかはわからないが） φ^nについての２次方程式を解くと

φ^n＝[√５Fn+｛５(Fn)＾2+/-4｝^1/2]/2

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ｎが偶数のとき、５（N^2）＾2+4は平方数でなければならない

ｎが奇数のとき、５（N^2）＾2-4は平方数でなければならない

n=1,F1=1→1

n=2,F2=1→9→3

n=3,F3=2→16→4

n=4,F4=3→49→7

n=5,F5=5→121→11

n=6,F6=8→324→18

n=7,F7=13→841→29

n=8,F8=21→2209→47

n=9,F9=34→5776→76

n=10,F10=55→15129→123

n=11,F11=89→39601→199

n=12,F12=144→103684→322

これはリュカ数になっている

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これはコラム「(ａ^2+ｂ^2＋１）／ａｂの整除性」で取り上げた問題のように、

ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1のとき、

(ａ^2+ｂ^2＋１）／ａｂ＝3

が成り立つ

フィボナッチ数に帰着する問題で

5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

Fn＝N^2となるｎを求める問題と同値である。

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φ^n＝[√５Fn+｛５(Fn)＾2+/-4｝^1/2]/2

φ^n＝[√５Fn+Ln]/2

を確認しておきたい。

Fn=1/√5・{φ^n-(-(1/φ)^2}

√5・Fn={φ^n-(-(1/φ)^2}

Ln={φ^n+(-(1/φ)^2}

これより

φ^n＝[√５Fn+Ln]/2が得られる。

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