ある数ＮのＮ自身を除いたすべての約数の和がそれ自身と一致する数を完全数と呼びます．

　　６＝１＋２＋３

　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４

　　１／６＋２／６＋３／６＝１

　　１／２８＋２／２８＋４／２８＋７／２８＋１４／２８＝１

すなわち，完全数では約数の調和平均は整数になります．

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【１】完全数の公式

　　６＝２（２^2−１）

　　２８＝２^2（２^3−１）

ですが，すべての偶数の完全数は

　　２^p-1（２^p−１）

で表されます（ユークリッド）．

　ただし，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンス素数）でなければなりません．したがって，その次の完全数はｐ＝５のとき，４９６になります．

　　ｐ＝７のとき，８１２８

　　ｐ＝１１のとき，２^p−１は素数でない

　　ｐ＝１３のとき，３３５５０３３６

　　ｐ＝１７のとき，８５８９８６９０５６

偶数の完全数はメルセンヌ素数と同じ数だけあるというわけです．

　なお，すべての偶数の完全数は

　　２^p（２^p−１）／２

と書き直すことができますから，三角数であることがわかります．

［おまけ］

　　２８＝１^3＋３^3

　　４９６＝＝１^3＋３^3＋５^3＋７^3

　　６を除く偶数の完全数を９で割ると１余る．

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【２】親和数（友愛数）

　ある数Ｍ，Ｎの自分自身を除く約数の和が相手の数になる数を親和数と呼びます．２２０（＝２^2・５・１１）と２８４（＝２^2・７１）はその最小のペアです．

　　２２０＝１＋２＋４＋７１＋１４２

　　２８４＝１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋２２＋４４＋５５＋１１０

ペアは無限にあるかどうか、一方は奇数で他方が偶数のペアはあるかどうか

互いに共通の約数を持たないペアはあるかどうか、などはわかっていない。

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【３】イブン・クッラの公式

　　ｐ＝３・２^n-1−１

　　ｑ＝２ｐ＋１

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ

がすべて素数ならば，Ｍ＝２^nｐｑ，Ｎ＝２^nｒのペアは親和数になる．

　　ｎ＝２→（２２０，２８４）

　　ｎ＝４→（１７２９６，１８４１６）　　　（フェルマー）

　　ｎ＝７→（９３６３５８４，９４３７０５６）　　　（デカルト）

なお，この公式で小さい方は四面体数になる．

　この公式ですべての親和数を求められるわけにはない．その組み合わせのひとつにすぎないのである．（１１８４，１２１０）は２番目に小さい親和数，（２６２０，２９２４）は３番目の親和数，（５０２０，５５６４）は４番目の親和数であるが，この公式では見つけられない．

　（１２２８５，１４５９５），（１１７５２６５，１４３８９８３）は奇数の親和数．

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【４】フェルマーの構成法

　　２^nａｂと２^nｃは友愛数のペアである．

　　　ａ＝３・２^n−１（素数）

　　　ｂ＝３・２^n-1−１（素数）

　　　ｃ＝９・２^2n-1−１（素数）

　ｐ＝ｂ＝３・２^n-1−１とおくと

　　ｑ＝２ｐ＋１＝３・２^n−１＝ａ

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ＝９・２^n-1−３・２^n−３・２^n-1＋１＋３・２^n-1−１＋３・２^n−１＝９・２^2n-1−１＝ｃ

であるから，これはイブン・クッラの公式と同じものである．

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【５】社交数

　２数でなく，３数以上になった場合を社交数と呼ぶ．

　１２４９６（＝２^4・１１・７１）

　１４２８８（＝２^4・１９・４７）

　１５４７２（＝２^4・９６７）

　１４５３６（＝２^3・２３・７９）

　１４２４６（＝２^3・１７８３）

は５個の鎖になっている．

　１４３１６は２８個の鎖になっている．

1264460、1547860，172766，1305184は4個組の最小の社交数として知られている。

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