２０１３年には，５以上のずべての奇数は３つの素数の和として表せるという弱ゴールドバッハ予想が証明されている．

　強ゴールドバッハ予想「２より大きいすべての偶数は２つの素数の和として表せる」はまだ証明されていないが，現在，すべての偶数はたかだか５つの素数の和として表せることが示されている．また，十分に大きいすべての偶数は，素数と半素数の和として表せるという陳景潤の定理もある．

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　ウラムの奇数列

　　｛Ｕn｝＝｛３，７，９，１３，１５，・・・｝

に対しては，１０より大きい偶数はすべてウラムの奇数列の２数宇の和になるだろうという予想がある．

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