３倍完全数から４倍完全数を求めることができる．

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【１】デカルトの公式

［１］Ｎが完全数で，３で割り切れなければ，３Ｎは４倍完全数である．

［２］Ｎが完全数で，３で割り切れるが，５や９で割り切れなければ，４５Ｎは４倍完全数である．

［３］Ｎが完全数で，３で割り切れるが，７や９や１３で割り切れなければ，２７３Ｎは４倍完全数である．２７３＝３・７・１３

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【２】デカルトの公式の証明

［１］σ（Ｎ）＝３Ｎ

　　σ（３Ｎ）＝（１＋３）σ（Ｎ）＝４σ（Ｎ）＝１２Ｎ＝４・３Ｎ

［２］σ（Ｎ）＝３Ｎ，Ｎ＝３Ｍ，Ｍは３でも５でも割り切れない．

４５Ｎ＝３^3・５・Ｍ

９Ｍ＝σ（３Ｍ）＝４σ（Ｍ）

σ（４５Ｎ）＝σ（３^3）σ（５）σ（Ｍ）＝４０・６・σ（Ｍ）＝１０・６・９・Ｍ＝４（４５Ｎ）

［３］σ（Ｎ）＝３Ｎ，Ｎ＝３Ｍ，Ｍは３でも７でも１３でも割り切れない．

３・７・１３・Ｎ＝３^2・７・１３・Ｍ

９Ｍ＝σ（３Ｍ）＝４σ（Ｍ）

σ（３・７・１３・Ｎ）＝σ（３^2）σ（７）σ（１３）σ（Ｍ）＝１３・８・１４・σ（Ｍ）＝４（３・７・１３・Ｎ）

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