自然数Ｎの正の約数の和をσ（Ｎ）で表すことにします．ｋ＝２の場合が完全数ですが，

　　σ（Ｎ）＝ｋＮ

を満たす自然数をｋ倍完全数と呼ぶことにします．

　　σ（１２０）＝３６０＝３・１２０

すなわち，３倍完全数です．３倍完全数は６個だけ知られています．

　　１２０，６７２，５２３７７６，４５９８１８２４０，１４７６３０４８９６，３１００１１８０１６０

　１・２・３＝６　　（最小の完全数）

　４・５・６＝１２０　　（最小の３倍完全数）

　７・８・９＝２２０＋２８４　　（最小の親和数の和）

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【１】フェルマーの３倍完全数公式

　フェルマーは，１６３６年に，

　　６７２＝３・７・３２＝３・７・２^5

　　σ（６７２）＝（１＋２＋・・・＋２^5）（１＋３）（１＋７）＝３・６７２

をみつけた．

　一般に，

　　（２^n+3−１）／（２^n＋１）が素数ｐに等しいならば，３・ｐ・２^n+2は３倍完全数である．

　　１２０は，ｎ＝１，１５／３＝５

　　６７２は，ｎ＝３，６３／９＝７の場合に相当する．

（証）σ（３・ｐ・２^n+2）＝σ（３）σ（ｐ）σ（２^n+2）

　　　σ（３）＝１＋３＝４，σ（ｐ）＝１＋ｐ

　　　σ（２^n+2）＝２^n+3−１

　ｐ＝（２^n+3−１）／（２^n＋１）

　１＋ｐ＝（２^n+3＋２^n）／（２^n＋１）＝２^n（８＋１）／（２^n＋１）＝９・２^n／（２^n＋１）

より，

　σ（３・ｐ・２^n+2）＝σ（３）σ（ｐ）σ（２^n+2）

＝４・（２^n+3＋２^n）／（２^n＋１）・（２^n+3−１）

＝４・９・２^n／（２^n＋１）・（２^n+3−１）

＝９・ｐ・２^n+2＝３・３・ｐ・２^n+2

　この公式ですべての３倍完全数を求められるわけにはない．その組み合わせのひとつにすぎないのである．３番目の３倍完全数は，

　　５２３７７６＝３・１１・３１・２^9

であり，・・・３１は素数ではないので，フェルマーの公式では見つけられないのである．

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　じつは，フェルマーの３倍完全数公式では，

　　１２０は，ｎ＝１，１５／３＝５

　　６７２は，ｎ＝３，６３／９＝７

しか与えてくれない．とんだ「うっかり公式」だったというわけである．

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