２^n×２^n−１＝４^n−１＝（４−１）（４^n-1＋４^n-2＋・・・＋１）であるから，２^n×２^n−１は３で割り切れる．

　　２^n×２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝＋１，２^n-1＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝−１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　２^n−１は素数であるから，

　　２^n−１＝−２＝１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　したがって，６を除く偶数の完全数を９で割ると１あまる．

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　６を除く偶数の完全数は１^3＋３^3＋５^3＋７^3＋９^3＋・・・の部分和となる．

　　２８＝１^3＋３^3

　　４９６＝１^3＋３^3＋５^3＋７^3

　　１^3＋３^3＋５^3＋７^3＋９^3＋・・・

＝１^3＋３^3＋５^3＋・・・＋（２ｎ＋１）^3−２^3｛１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3｝

＝｛｛２ｎ＋１）（２ｎ＋２）／２｝^2−２^3｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

＝｛（ｎ＋１）（２ｎ＋１）}^2−２｛ｎ（ｎ＋１）｝^2

＝（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

　ｎ＝１のとき，２８

　ｎ＝３のとき，４９６

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　　（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

＝（ｎ^2＋２ｎ＋１）（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

（ｎ^2＋２ｎ＋１）＝２^k-1

（２ｎ^2＋４ｎ＋１）＝２^k−１

　この観点からいえば，完全数の問題は

［１］（２ｎ^2＋４ｎ＋１）＝２（ｎ＋１）^2−１

［２］２（ｎ＋１）^2−１＝２^k−１→ｎ＋１＝２^(k-1)/2

型の素数を見つける問題となる．

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［おまけ］

　フィボナッチ数は５次式

　　−ｙ^5＋２ｙ^4ｘ＋ｙ^3ｘ^2−２ｙ^2ｘ^3−ｙ（ｘ^4−２）

の正整数値であることが示されている．

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