奇数の完全数が存在するかは未解決の難問になっています．

［１］奇数の完全数は平方数に奇数をひとつかけたものである．

［２］奇数の完全数を

　　ｐ^aｑ^bｒ^c・・・

とすると，ｐ，ｑ，ｒ，・・・は４ｎ＋１型素数で，ａ，ｂ，ｃが偶数出なければならない．

［３］少なくとも８個の素因数をもつ．

［４］ある素数の累乗（１０^18よりおおきいもの）で割り切れる．

［５］最大の素因数は３０００００以上

［６］２番目の素因数は１０００以上

［７］１０^9118以下の奇数の完全数はある素数の６乗で割り切れる．

　検証してみたい．

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　オイラーは奇数の完全数が存在するならば

　　Ｎ＝ｐ^(4k+1)s^2

　　ｐはｓを割らない４ｍ＋１型素数

であることを証明した．

　ｓ＝ｑ^aｒ^b・・・という異なる素数の積の形に書いてみれば

　　ｓ^2＝ｑ^2aｒ^2b・・・　

　　Ｎ＝ｐ^(4k+1)ｑ^2aｒ^2b・・・

　Ｎを奇数の完全数と仮定すると

　　σ（Ｎ）＝σ（ｐ^(4k+1)）σ（ｑ^2a）σ（ｒ^2b）・・・＝２Ｎ

したがって，

［１］σ（Ｎ）の奇数の約数はＮのの約数（逆も真）

［２］σ（Ｎ）は２でわりきれるが，２^k　　（ｋ＞１）ではわりきれない．

　ｐを４ｍ＋１型の特別の因数として，１０^4より小さな奇数の完全数はないことを証明してみましょう．たとえば，ｐ＝１３とすると，σ（１３）は２Ｎを割り切る．しかし，

　　σ（１３）＝１４＝２・７

より，７はＮを割り切ることになる．しかし，７は特別な因数ではない（ｑ，ｒ，・・・の仲間である）ので，７^2とか７^4がＮの成分になる．

　７^2がＮの成分なら

　　σ（７^2）＝１＋７＋４９＝５７

がＮを割り切る．しかし，

　　σ（７^2）＝５７＝３・１９

より，１９はＮを割り切ることになる．しかし，１９は４ｍ＋１型の特別な因数ではない（ｑ，ｒ，・・・の仲間である）ので，１９^2とか１９^4がＮの成分になる．同じ理由で３^2とか３ｰ4がＮの成分になる．

　これらを繰り返しにより，Ｎは

　　１３・３^2・７^2・１３^2＞１０^4

の倍数となるから，１０^4より小さな奇数の完全数はないことが証明される．

　Ｎに対して，１０^4より小さい５０００の奇数を検討することなしに，わずかの事例だけで，この結果に達することができるのである．

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