２^p−１　　（ｐは素数）

に対して，簡単な数値実験をしでみよう．

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　ｐは２０未満の素数とすると

ｐ＝２　　２^2−１＝３　　（素数）

ｐ＝３　　２^3−１＝７　　（素数）

ｐ＝５　　２^5−１＝３１　　（素数）

ｐ＝７　　２^7−１＝１２７　　（素数）

ｐ＝11　　２^11−１＝２０４７　（素数）

ｐ＝13　　２^13−１＝８１９１＝２３・８９　　（非素数）

ｐ＝17　　２^17−１＝１３１０７１　　（素数）

ｐ＝19　　２^19−１＝５２４２８７　　（素数）

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　２^n×２^n−１＝４^n−１＝（４−１）（４^n-1＋４^n-2＋・・・＋１）であるから，２^n×２^n−１は３で割り切れる．

　　２^n×２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝＋１，２^n-1＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝−１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　２^n−１は素数であるから，

　　２^n−１＝−２＝１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　したがって，６を除く偶数の完全数を９で割ると１あまる．

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［Q］完全数の末尾の数は６または８

［Q］ｐ＝（２^n−１）の末尾の数は最初の6と２８を除くと１または７

ｎは奇素数、ｎー１は偶数

２^n-1の末尾の数　　　２^n−１の末尾の数

　　　４　　　　　　　　　　　７

　　　６　　　　　　　　　　　１

以上により、完全数の末尾の数は６または８

以上により、ｐ＝（２^n−１）の末尾の数は最初の6と２８を除くと１または７

メルセンヌ数のの末尾の数は最初の3を除くと１または７

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