ある数ＮのＮ自身を除いたすべての約数の和がそれ自身と一致する数を完全数と呼びます．

　　６＝１＋２＋３

　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４

　　１／６＋２／６＋３／６＝１

　　１／２８＋２／２８＋４／２８＋７／２８＋１４／２８＝１

すなわち，完全数では約数の調和平均は整数になります．

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【１】完全数の公式

　　６＝２（２^2−１）

　　２８＝２^2（２^3−１）

ですが，すべての偶数の完全数は

　　２^p-1（２^p−１）

で表されます（ユークリッド）．

　ただし，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンス素数）でなければなりません．したがって，その次の完全数はｐ＝５のとき，４９６になります．

　　ｐ＝７のとき，８１２８

　　ｐ＝１１のとき，２^p−１は素数でない

　　ｐ＝１３のとき，３３５５０３３６

　　ｐ＝１７のとき，８５８９８６９０５６

偶数の完全数はメルセンヌ素数と同じ数だけあるというわけです．

　なお，すべての偶数の完全数は

　　２^p（２^p−１）／２

と書き直すことができますから，三角数であることがわかります．

［おまけ］

　　２８＝１^3＋３^3

　　４９６＝＝１^3＋３^3＋５^3＋７^3

　　６を除く偶数の完全数を９で割ると１余る．

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　２^n×２^n−１＝４^n−１＝（４−１）（４^n-1＋４^n-2＋・・・＋１）であるから，２^n×２^n−１は３で割り切れる．

　　２^n×２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝＋１，２^n-1＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝−１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　２^n−１は素数であるから，

　　２^n−１＝−２＝１，２^n-1＝＋１　　（ｍｏｄ３）

　したがって，６を除く偶数の完全数を９で割ると１あまる．

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　６を除く偶数の完全数は１^3＋３^3＋５^3＋７^3＋９^3＋・・・の部分和となる．

　　２８＝１^3＋３^3

　　４９６＝１^3＋３^3＋５^3＋７^3

　　１^3＋３^3＋５^3＋７^3＋９^3＋・・・

＝１^3＋３^3＋５^3＋・・・＋（２ｎ＋１）^3−２^3｛１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3｝

＝｛｛２ｎ＋１）（２ｎ＋２）／２｝^2−２^3｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

＝｛（ｎ＋１）（２ｎ＋１）}^2−２｛ｎ（ｎ＋１）｝^2

＝（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

　ｎ＝１のとき，２８

　ｎ＝３のとき，４９６

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　　（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

＝（ｎ^2＋２ｎ＋１）（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

（ｎ^2＋２ｎ＋１）＝２^k-1

（２ｎ^2＋４ｎ＋１）＝２^k−１

　この観点からいえば，完全数の問題は

［１］（２ｎ^2＋４ｎ＋１）＝２（ｎ＋１）^2−１

［２］２（ｎ＋１）^2−１＝２^k−１→ｎ＋１＝２^(k-1)/2

型の素数を見つける問題となる．

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