カーマイケル数は少なくとも３つの素因数をもつ．たとえば，

　　５６１＝３・１１・１７

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　ｐ1，ｐ2は奇素数で，ｐ1＜ｐ2とする．ｎ＝ｐ1ｐ2がカーマイケル数であると仮定すると

［１］ｐ1ｐ2≠０　　（ｍｏｄｐ1^2）

［２］ｐ1ｐ2≠０　　（ｍｏｄｐ2^2）

［３］ｐ1ｐ2＝１　　（ｍｏｄｐ1−１）

［４］ｐ1ｐ2＝１　　（ｍｏｄｐ2−１）

が成り立たなければならない．

　　１＜ｐ1−１＜ｐ2−１

　　ｐ1ｐ2−１＝ｐ1（ｐ2−１）＋ｐ1−１

より，

　　ｐ1ｐ2−１＝ｐ1−１　　（ｍｏｄｐ2−１）

　これは

　　［４］ｐ1ｐ2−１＝０　　（ｍｏｄｐ2−１）

に矛盾．したがって，カーマイケル数は素因数を２つだけもつことはない．→カーマイケル数は少なくとも３つの素因数をもつ．

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