昨年、立方八面体をねじった大円弧多面体と、菱形１２面体を捩じった大円弧多面体の設計をしたことがある。

前者 (ねじれ立方八面体）は大正方形６，大正三角形８，小菱形１２

後者（ねじれ菱形十二面体）は大菱形１２，小正方形６，小正三角形８

よりなる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正三角形と正方形の1辺の球面距離をa

菱形の1辺の球面距離をb

正三角形の内角をα、正方形の内角をβとすると

菱形の内角はπ-αが2、π-βが2個であるから

正三角形8個分の面積は（３α-π）・8

正方形6個分の面積は（４β-2π）・6

菱形12個分の面積は（π-α＋π-β）・24

となって、合計は常に4πとなるとのことで、計算を打ち切ってしまった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正三角形と正方形の1辺の球面距離を何度にとっても、菱形が変形してかみ合ってしまうと考えたからであるが

これは簡単な条件を見逃してしまったための、間違いであることが判明した。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

菱形の形は一意に決まり、正三角形と正方形の1辺の球面距離aは

前者 (ねじれ立方八面体）は大正方形６，大正三角形８，小菱形１２で、54.3274度

後者（ねじれ菱形十二面体）は大菱形１２，小正方形６，小正三角形８で、25.5275度となった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正三角形の内角をα、正方形の内角をβ

菱形の1辺をｃ、対角線をｄとする。

cosd=(cosc)^2+(sinc)^2cos(π-β)

cosc=cosccosd+sincsindcos(π−α)/2

cosd=(cosc)^2-(sinc)^2cosβ

cosc=cosccosd+sincsindsin(α/2)

dが消去できればよい。

cosc=cosc{(cosc)^2-(sinc)^2cosβ}+sinc{1-(cosc)^2}^1/2sin(α/2)

これが成り立つような中心距離θを求めればよい。ｃ、α、βはθの関数

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝