［参］安藤哲哉「不等式」数学書房

には，（３次）ムーアヘッドの不等式

　　Ｍ（３，０，０）＝（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３

　　Ｍ（２，１，０）＝（ａ^2ｂ＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2）／６

　　Ｍ（１，１，１）＝ａｂｃ

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

（３次）シューアの不等式

　　ａ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^k（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^k（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）≧０

から証明できる不等式が掲げられている．

　　Ｓ（２，１，０）＝Ｓ2,1＝ａ^2ｂ＋ｂ^2ｃ＋ｃ^2ａ

　　Ｔ（２，１，０）＝Ｔ2,1＝ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2

　　Ｕ（１，１，１）＝Ｕ＝ａｂｃ

という記号を用いることにするが，（３次）シューアの不等式は

　　Ｓ3＋３Ｕ≧Ｔ2,1

　　Ｓn+3＋３ＵＳn≧Ｔn+2,1

もっと一般に，

　　ａ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^k（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^k（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）≧０

が成り立つ．

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【１】対称不等式

　正の実数ａ，ｂ，ｃに対して，

［１］２Ｓ3≧Ｔ2,1≧Ｕ

［２］２Ｓ4≧Ｔ3,1≧Ｓ2,2≧２ＵＳ1

［３］２Ｓ5≧Ｔ4,1≧Ｔ3,2≧２ＵＳ2≧２ＵＳ1,1

［４］２Ｓ6≧Ｔ5,1≧Ｔ4,2≧２ＵＳ3≧ＵＴ2,1≧６Ｕ^2

［５］２Ｓ3,3≧ＵＴ2,1≧６Ｕ^2

　任意の実数ａ，ｂ，ｃに対して，

［１］２Ｓ4≧Ｔ3,1，Ｓ4≧Ｓ2,2≧ＵＳ1

［２］２Ｓ6≧Ｔ4,2≧２ＵＳ3，Ｔ4,2≧ＵＴ2,1，Ｔ4,2≧６Ｕ^2

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【２】巡回不等式

　正の実数ａ，ｂ，ｃに対して，

［１］Ｓ3≧Ｓ2,1≧Ｕ

［２］Ｓ4≧Ｓ3,1≧ＵＳ1，Ｓ4≧Ｓ2,2≧ＵＳ1

［３］Ｓ5≧Ｓ4.1≧ＵＳ2≧ＵＳ1,1

［４］Ｓ5≧Ｓ3,2≧ＵＳ1,1

［５］Ｓ6≧Ｓ5,1≧ＵＳ3≧ＵＳ2,1≧３Ｕ^2

［６］Ｓ6≧Ｓ4.2≧ＵＳ2,1≧３Ｕ^2

［７］Ｓ6≧Ｓ3,3≧ＵＳ2,1≧３Ｕ^2

［８］Ｓ2,4≧ＵＳ2,1

　任意の実数ａ，ｂ，ｃに対して，

［１］Ｓ4≧Ｓ3,1，Ｓ2,2≧ＵＳ3

［２］Ｓ6≧Ｓ5,1

［３］Ｓ6≧Ｓ4,2≧ＵＳ2,1

［４］Ｓ6≧Ｓ3,3

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