【２】エルデシュの不等式

　三角不等式（Ｒ≧２ｒ）は，より一般的には「△ＡＢＣ内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3，各辺（またはその延長）までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧２（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）

等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐがその重心であるとき」

で与えられます．

　これが「エルデシュ・モーデルの定理」で，この定理はＲ≧２ｒの一般化であると考えられます．エルデシュの定理は，簡単に

　　Ａ（Ｒ）≧２Ａ（ｒ）

と書けますが，Ａは算術平均の略で，Ｒの算術平均≧２（ｒの算術平均）という意味です．

　エルデシュの定理は，算術平均Ａを調和平均Ｈ，幾何平均Ｇに置き換えても成り立ちます．すなわち，

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3≧８ｒ1ｒ2ｒ3

　　１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3≧２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2＋１／Ｒ3）

　また，２次の基本対称式に対しては

　　Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2Ｒ3＋Ｒ3Ｒ1≧４（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）

も知られています．この種の不等式は美しい．しかし，証明は難しい・・・．

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　次に，三角形の代わりに４面体を用います．４面体のある内点から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ4，各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ4で表すことにします．

　一般に，三角形の重心の性質は四面体に遺伝するので，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧３（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

となるはずですが，ところが，これが成立しないのです．

　４面体では

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4

であることが示されています．

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