１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

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（証）中心での角度をα，β，γとし，余弦定理を用いると

　　ｄ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃｃｏｓα

　　ｄ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａｃｏｓβ

　　ｄ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓγ

　また，α＋β＋γ＝２πより，

　　ｃｏｓ^2α＋ｃｏｓ^2β＋ｃｏｓ^2γ＝１＋２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγ

続きは骨の折れる計算であるが，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が得られる．

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　この式はａ，ｂ，ｃについて対称なのは当然であるが，ｄに関しても対称になっている．したがって，これらの図が互いに結びついて多くの対称性をもつ大きな図を構成することだでき，最終的には３辺の長さがａ，ｂ，ｃの三角形の外側に１辺の長さがａの正三角形，ｂの正三角形，ｃの正三角形を描いた図が得られる．

　するとＡＡ’，ＢＢ’，ＣＣ’を結んだ３直線は６０°で交わり，どれも同じ長さになる．この交点がフェルマー点である．

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