ｎ番目の素数をｐnで表すと、

p1=2,p2=3,p3=5,p4=7,p5=11,p6=13,p7=17,p8=19,p9=23,p10=29,・・・

Π(p+1)/(p-1)を考える。

3/1=3　　（整数）

3/1・4/2=6　　（整数）

3/1・4/2・6/4=9　　（整数）

3/1・4/2・6/4・8/6=12　　（整数）

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10=72/5

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12=84/5

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16=189/10

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16・20/18=21　　（整数）

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16・20/18・24/22=252/11

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16・20/18・24/22・30/28=1890/77

ｍ＝8のとき、整数になる。整数となることが知られている最大の整数である

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Π(p^2+1)/(p^2-1)を考える。

Π(p^2+1)/(p^2-1)→5/2

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Π(p^2+1)/(p^2-1)＜Π(p+1)/(p-1)→?

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Π(p^2+1)/(p^2-1)＜Π(p+1)/(p-1)→∞が証明できたことになる

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Π(n+1)/(n-1)=n(n+1)/2を考える。

3/1=3　　（整数）

3/1・4/2=6　　（整数）

3/1・4/2・5/3=10　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4=15　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5=21　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6=28　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7=36　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7・10/8=45　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7・10/8・11/9=55　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7・10/8・11/9・12/10=78　　（整数）

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証明は完了ではなかった。

pn＞nはよいが

(pn+1)/(pn-1)＜(n+1)/(n-1)だったのである。はやく１に近づく。

(pn+1)(n-1)＜(n+1)(pn-1)

-pn+npn＞n

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2n>pn>nが証明できればよいことになる。

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Π(2n+1)/(2n-1)=(2n+1)を考える。

3/1=3　　（整数）

3/1・5/3=5　　（整数）

3/1・5/3・7/5=7　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7=9　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7・11/9=11　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7・11/9・13/11=13　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7・11/9・13/11・15/13=15　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7・11/9・13/11・15/13・17/15=17　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7・11/9・13/11・15/13・17/15・19/17=19　　（整数）

3/1・5/3・7/5・9/7・11/9・13/11・15/13・17/15・19/17・21/19=21　　（整数）

Π(2n+1)/(2n-1)＜Π(pn+1)/(pn-1)＜Π(n+1)/(n-1)より

Π(p+1)/(p-1)→∞が証明できたことになる

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