ｎ番目の素数をｐnで表すと、

p1=2,p2=3,p3=5,p4=7,p5=11,p6=13,p7=17,p8=19,p9=23,p10=29,・・・

Π(p+1)/(p-1)を考える。

3/1=3　　（整数）

3/1・4/2=6　　（整数）

3/1・4/2・6/4=9　　（整数）

3/1・4/2・6/4・8/6=12　　（整数）

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10=72/5

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12=84/5

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16=189/10

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16・20/18=21　　（整数）

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16・20/18・24/22=252/11

3/1・4/2・6/4・8/6・12/10・14/12・18/16・20/18・24/22・30/28=1890/77

ｍ＝8のとき、整数になる。整数となることが知られている最大の整数である

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Π(p^2+1)/(p^2-1)を考える。

Π(p^2+1)/(p^2-1)→5/2

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Π(p^2+1)/(p^2-1)＜Π(p+1)/(p-1)→?

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Π(p^2+1)/(p^2-1)＜Π(p+1)/(p-1)→∞が証明できたことになる

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Π(n+1)/(n-1)=n(n+1)/2を考える。

3/1=3　　（整数）

3/1・4/2=6　　（整数）

3/1・4/2・5/3=10　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4=15　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5=21　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6=28　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7=36　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7・10/8=45　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7・10/8・11/9=55　　（整数）

3/1・4/2・5/3・6/4・7/5・8/6・9/7・10/8・11/9・12/10=78　　（整数）

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証明は完了ではなかった。

pn＞nはよいが

(pn+1)/(pn-1)＜(n+1)/(n-1)だったのである。はやく１に近づく。

(pn+1)(n-1)＜(n+1)(pn-1)

-pn+n＜pn-n

pn>＞

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2n＞pn＞nが証明できればよいことになる。

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１８５０年に、ロシアの数学者チェビシェフは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ）、同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という定理を発見しました。この証明の発見は彼が実に１８才のときだったそうですから、「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです。

2n＞pn＞nではないがこれで良しとしたい

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