もう少し，ガンマ関数の無限積表示について考えておきたい．

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　Γ(x)=lim(n→∞)(n-1)!n^x/x(x+1)(x+2)(x+3)・・・・(x+n-1)

＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)

（証）

Γ(x)=1/x(x+1)(x+2)(x+3)・・・・(x+n-1)∫(0,∞)t^(x+n-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ　

を積分して，スターリングの公式を利用すると

　Γ(x)=1/xlim(n→∞)(n-1)!1/(x+1)・2/(x+2)・3/(x+3)・・・・(n-1)/(x+n-1)n^x

＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)

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　Γ(x)=lim(n→∞)(n-1)!n^x/x(x+1)(x+2)(x+3)・・・・(x+n-1)

＝ｅｘｐ（−γｘ）／ｘΠｅｘｐ（ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ）

（証）ｎ＝１〜Ｎの積をｆN(x)とおけば，

ｆN(x)＝１／ｘ・Ｎ！／(x+1)(x+2)(x+3)・・・・(x+n-1)ｅｘｐ（ｘｌｏｇＮ）＝１／ｘ・ｅｘｐ（ｘ（ｌｏｇＮ-1-1/2-・・・-1/N）Πｅｘｐ（ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ）

＝ｅｘｐ（−γｘ）／ｘΠｅｘｐ（ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ）

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　Γ（２ｘ）＝２^2x／２√π・Γ（ｘ）Γ（ｘ＋１／２）　　　（倍角公式）

（証）

　　２^2x／２√π・Γ（ｘ）Γ（ｘ＋１／２）

＝lim(n→∞)(n-1)!n^x/x(x+1)(x+2)(x+3)・・・・(x+n-1)・(n-1)!n^x+1/2/(x+1/2)(x+3/2)(x+5/2)(x+7/2)・・・・(x+2n-1/2)

＝lim(n→∞)(2n-1)!2n^2x/2x(2x+1)(2x+2)(2x+3)・・・・(2x+2n-1)・（２^nｎ！）^2２／（２ｎ）！√ｎ

　スターリングの公式により，右辺はΓ（２ｘ）２√πになる．

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