Γ関数の定義

　　1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

を知らなかったので調べてみたところ，ガンマ関数には，無限積表示

［１］オイラーの公式

　　Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

　　　　　　＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)　　　ｎ＝１〜∞

のほかに

［２］ワイエルシュトヤスの標準無限積表示

　　１／Γ（ｘ）＝ｘｅｘｐ（γｘ）Π（１＋ｘ／ｎ）ｅｘｐ（−ｘ／ｎ）　　　ｎ＝１〜∞

があった．

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　　１／Γ（ｘ）＝ｘｅｘｐ（γｘ）Π（１＋ｘ／ｎ）ｅｘｐ（−ｘ／ｎ）

＝ｘｅｘｐ（γｘ）Π（１＋ｘ／ｎ）ｅｘｐ（−ｘ／ｎ）

ｅｘｐΣ（−ｘ／ｎ）＝ｅｘｐΣ（−ｘ（１／１＋１／２＋・・・＋１／ｎ））

Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．

　Ｈn −ｌｏｇｎ→γ　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））

　　　　　　Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１）

ですから，ｎ→∞のとき

　ｅｘｐΣ（−ｘ／ｎ）→ｅｘｐ（−ｘ（γ＋ｌｏｇｎ））

　ｅｘｐ（γｘ）ｅｘｐΣ（−ｘ／ｎ）→ｅｘｐ（−ｘｌｏｇｎ））＝１／ｎ^x

となって，

　　1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

は正しいことがわかる．

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