［Ｑ］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，　　Ｎ＝Πｎ^3／（ｎ^3−１）＝？

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［Ａ］

　　Ａ＝Π（１−１／ｎ^3）　　　ｎ＝２〜∞

　　Ｂ＝Π（１＋１／ｎ^3）　　　ｎ＝２〜∞

岩波「数学公式�U」に掲載されている

　　Ａ／Ｂ＝Π（（ｎ^3−１）／（ｎ^3＋１）＝２／３　　　ｎ＝２〜∞

を既知として援用する．

（その１４）より

　　ＡＢ＝Π（１−１／ｎ^6）＝(1+cosh(π√3))/12π^2

であるから，Ａ／Ｂ＝２／３より，

　　Ａ＝(1+cosh(π√3))^1/2／３π√２

　　(1+cosh(π√3))^1/2／√２＝ｃｏｓｈ（π√３／２）

　　Ａ＝ｃｏｓｈ（π√３／２）／３π

　　Ｂ＝ｃｏｓｈ（π√３／２）／２π

　ｎ＝１〜∞とすれば，丸善「新数学公式集�T」

［１］Π（１＋１／ｎ^3）＝ｃｏｓｈ（√３π／２）／π

［２］Π（１−１／ｎ^3）＝ｃｏｓｈ（√３π／２）／３π

に一致する．

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［雑感］

　岩波「数学公式�U」に掲載されている

　　Ａ／Ｂ＝Π（（ｎ^3−１）／（ｎ^3＋１）＝２／３　　　ｎ＝２〜∞

を既知として援用したが，この証明がわからない．

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