［１］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^6／（ｐ^6−１）＝ζ（６）＝π^6／９４５

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^6／（ｑ^6−１）＝？

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［答］Ｓ（ｘ）＝ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）

　ωを１の３乗根とする．ω^3＝１，ω^2+ω+1＝０

　Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^2ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^4ｘ^2／ｎ^2）＝Π(1,∞)（（ｎ^6−ｘ^6）／ｎ^6）

Π(1,∞)（ｎ^6／（ｎ^6−ｘ^6））＝１／Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）

Π(2,∞)（ｎ^6／（ｎ^6−ｘ^6））＝（１−ｘ^6）／Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝（πｘ）^3（１−ｘ^6）／ｓｉｎ（πｘ）ｓｉｎ（ωπｘ）ｓｉｎ（ω^2πｘ）

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^6/(n^6-1)=lim(x→1) π^3x^3(1-x^6)/sin(πx)sin(ωπx)sin(ω^2πx)

sin(ωπ)sin(ω^2π)＝-1/2(cos(ω+ω^2)π-cos(ω-ω^2)π)

sin(ωπ)sin(ω^2π)＝-1/2(-1-cos(i√3π))

より，N=12π^2/(1+cosh(π√3))として求まります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^6／９４５より，Ｑ＝１１３４０／π^4（１＋ｃｏｓｈ（π√３））＝１．００２００１・・・

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［雑感］

　Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^2／ｎ^2）（１−ω^4／ｎ^2）＝Π(1,∞)（（ｎ^6−ｘ^6）／ｎ^6）

の部分は，オイラーの五角数定理の証明を想起させるような美しいアイデアの１例である．

　オイラーの五角数定理（１７５０年）

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　n:1~∞，m:-∞~∞，m(3m-1)/2は五角数

は，ヤコビの３重積公式において，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺はΠ(1-q^3n)(1-q^3n-1)(1-q^3n-2)=Π(1-q^n)=(q;q)∞となり，

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの５角数定理）

と表される．

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