1からｎまでの平方の和が平方数となるｎは1か24のときだけである。

７０^2＝１^2＋２^2＋・・・＋２４^2

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ｐ＝3はｐ^4の約数の和が平方数になる唯一の素数である。

1+3+3^2+3^3+3^4=(3^5-1)/2=11^2

ｐ＝7はｐ^3の約数の和が平方数になる唯一の素数である。

1+7+7^2+7^3=(7^4-1)/6=20^2

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1から連続した累乗和として２通りに表されるのは

31=1+5+5^2=1+2+2^2+2^3+2^4

8191=1+90+90^2=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^12

の２つしか知られていない。

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一般にこのような数は

(a^p-1)/(a-1)=(b^q-1)/(q-1)と表すことができるので、

(a^p-1)/(b^q-1)＝(a-1)/(q-1)と同値。

したがって、(a^p-1)/(b^q-1)の形で２通りに表せる数である。

31=(2^5-1)/(2-1)=(5^3-1)/(5-1)素数

8191=(2^13-1)/(2-1)=(90^3-1)/(90-1)メルセンヌ素数

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p=2,3,5,7のときM(Mp)は素数（二重メルセンヌ素数）ですが、

p=13のとき、M8191は素数ではありません。

すなわち、メルセンヌ素数を指数にもつメルセンヌ数は素数かという古くからの予想に対する反例になっている。

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