1からｎまでの平方の和が平方数となるｎは1か24のときだけである。

７０^2＝１^2＋２^2＋・・・＋２４^2

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ｐ＝3はｐ^4の約数の和が平方数になる唯一の素数である。

1+3+3^2+3^3+3^4=(3^5-1)/2=11^2

ｐ＝7はｐ^3の約数の和が平方数になる唯一の素数である。

1+7+7^2+7^3=(7^4-1)/6=20^2

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1から連続した累乗和として２通りに表されるのは

31=1+5+5^2=1+2+2^2+2^3+2^4

8191=1+90+90^2=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^12

の２つしか知られていない。

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一般にこのような数は

(a^p-1)/(a-1)=(b^q-1)/(q-1)と表すことができるので、

(a^p-1)/(b^q-1)＝(a-1)/(q-1)と同値。

したがって、(a^p-1)/(b^q-1)の形で２通りに表せる数である。

31=(2^5-1)/(2-1)=(5^3-1)/(5-1)素数

8191=(2^13-1)/(2-1)=(90^3-1)/(90-1)メルセンヌ素数

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