球面上の二等辺三角形a=b,cを考える。

cosc=(cosa)^2+(sina)^2cosC

cosc=(cosa)^2+{1-(cosa)^2}cosC

cosc=(cosa)^2{1-cosC}+cosC

正三角形であるならばa=cであるから、

(cosc)^2{1-cosC}-cosc+cosC=0

cosc=[1+sqr(1-4{1-cosC}cosC]/2{1-cosC}

0＜cosC＜1/2

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1-4cosC+4(cosC)^2=(2cosC-1)^2より

cosc=cosC/{1-cosC}=-1+1/(1-x)またはcosc=(2-2cosC)/2{1-cosC}=1

0＜x＜1/2より、cosc＜1

したがって、c＞0であればよい。

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二等辺三角形であれば、0＜cosC＜1/2であるから

cosc=[(cosa)^2,{(1+(cosa)^2}/2]

cosc＜(cosa)^2＜cosa

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