その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．１００までの双子素数は（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），（２９，３１），（４１，４３），（５９，６１），（７１，７３）の８組．　１００から２００までの双子素数は（１０１，１０３），（１０７，１０９），（１３７，１３９），（１４９，１５１），（１７９，１８１），（１９１，１９３），（１９７，１９９）の７組．ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．

双子素数が無限に多く存在するかどうかはいまのところわかっていません．双子素数の場合に難しいのは素数全体のときと異なって，双子素数の逆数の和

１／３＋１／５＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・＋１／ｐ＋１／（ｐ＋２）＋・・・

が無限大とはならずに，その和が１．９０１９５・・・（ブルンの定数：１９１９年）となることが証明されている点です．このことは，双子素数が無限にあるとしても，まれにしか存在しないことを示しています．そのため，双子素数が無限に存在することの有力な証拠は見つかっているにもかかわらず，完全な証明には至っていないのです．

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ブルンの定数は双子素数が無限にあるという証明にはなりませんが、

もし、この数が無理数であることが証明されれば、双子素数は無限にあることになります。

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双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πt（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．

経験的のこの法則は正しそうですが、 双子素数が無限に多く存在するかどうかはいまのところわかっていません。

せいぜい双子素数の素数の逆数の和がしゅうそくすることがわかっているだけである。

１．９０１９５・・・（ブルンの定数：１９１９年）

はいまのところ、フレーベルグによって与えられた

１．９０１９５+ε、｜ε｜＜10＾-5

が最良である。

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１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・

と５をだぶらせないで計算することもあった。その和は１．７０１９５・・・

さらに

１＋１／３＋１／３＋１／５＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・

と計算されることもあった。その和はπになると予想された。

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