65は２つのピタゴラス三角形の斜辺となる最小の数である。

65^2=63^2+16^2=56^2+33^2

65^2-56^2=33^2となるが、２桁の数で、その数の平方と元の数を逆に書いた数の平方の差が平方数となる唯一の数である

3桁の数でこの性質を満たすものはない。　

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　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　６５＝５・１３

　　５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

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　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

より

　　６５^2＝（８・４＋１・７）^2＋（８・７−１・４）^2＝３９^2＋５２^2

　　６５^2＝（８・４−１・７）^2＋（８・７＋１・４）^2＝２５^2＋６０^2

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5=1^2+2^2

5・169=(1^2+2^2)(5^2+12^2)=(5+24)^2+(12-10)^2=(5-24)^2+(12+10)^2 =845

29^2+2^2=19^2+22^2=845

　　６５^2＝（１・２９＋２・２）^2＋（１・２−２・２９）^2＝３３^2＋５６^2

　　６５^2＝（１・２９−２・２）^2＋（１・２＋２・２９）^2＝２５^2＋６０^2

　　６５^2＝（１・１９＋２・２２）^2＋（１・２２−２・１９）^2＝６３^2＋１６^2

　　６５^2＝（１・１９−２・２２）^2＋（１・２２＋２・１９）^2＝２５^2＋６０^2

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13=(2^2+3^2)

13・25=(2^2+3^2)(3^2+4^2)=(6+12)^2+(8-9)^2=(6-12)^2+(8+9)^2= 325

18^2+1^2=6^2+17^2=325

　　６５^2＝（２・１８＋３・１）^2＋（２・１−３・１８）^2＝３９^2＋５２^2

　　６５^2＝（２・１８−３・１）^2＋（２・１＋３・１８）^2＝３３^2＋５６^2

　　６５^2＝（２・６＋３・１７）^2＋（２・１７−３・６）^2＝６３^2＋１６^2

　　６５^2＝（２・６−３・１７）^2＋（２・１７＋３・６）^2＝３９^2＋５２^2

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