1からｎまでの平方の和が平方数となるｎは1か24のときだけである。

７０^2＝１^2＋２^2＋・・・＋２４^2

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ｐ＝3はｐ^4の約数の和が平方数になる唯一の素数である。

1+3+3^2+3^3+3^4=(3^5-1)/2=11^2

ｐ＝7はｐ^3の約数の和が平方数になる唯一の素数である。

1+7+7^2+7^3=(7^4-1)/6=20^2

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n^3-4の形の平方数は4と121の２つである（フェルマー）

11^2=5^3-4

2^2=2^3-4

n^3+1の形の唯一の平方数は9=2^3+1（オイラー）

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n!+1が平方数となる整数ｎは存在するか（ブロカールの問題）

最小のｎは4、次は5と7．

4!+1=5^2

5!+1=11^2

7!+1=71^2これ以外に解があるかどうかはわかっていない。

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17は連続した4つの素数の和となる唯一の素数である

17=2+3+5+7

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65は２つのピタゴラス三角形の斜辺となる最小の数である。

65^2=63^2+16^2=56^2+33^2

65^2=56^2=33^2となるが、２桁の数で、その数の平方と元の数を逆に書いた数の平方の差が平方数となる唯一の数である

3桁の数でこの性質を満たすものはない。　

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