特殊な形の素数としては

　　カレン素数：ｎ・２^n＋１型素数

　　フェルマー素数：２^(2^n)＋１型素数

　　メルセンヌ素数：２^n−１型素数

などがあげられる．

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　フェルマー数の因数はｋ・２^n＋１の形をしていることから，オイラーは

　　２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１・６７００４１７

と分解されることを見いだした．(合成数)

フェルマー素数はｎが0から4までの、3，5，17，257，65537の5つだけだ知られている

よく知られているように、正7，257，6553角形はコンパスとメモリのない直線定規を使って作図可能である。

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1951年コンピュータで79桁の素数が見つかるまで、メルセンヌが見つけたM127=2^127-1（39桁）は手計算で見つかった最大の素数でした

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