切頂八面体のねじれ操作を考える。

頂点には二等辺三角形ができる。

正方形の内角をA,正六角形の内角をBとする。

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不等辺三角形の内角は(π-A,π-B,π-B)・・・面積は２π-A-2Bが２４個

正方形・・・面積4A-2πが6個

正六角形・・・面積6B-4πが8個

面積の合計は４πとなる。

しかしこれを等間隔の円弧部材で作ることはできないので、測地線からはずれることになる。

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小菱形立方八面体を考える。

頂点には非正四角形ができる。

正三角形の内角をA,正方形の内角をBとする。

四角形の内角は(π-A,π-B,π-B, π-B)・・・面積は2π-A-3Bが２４個

正三角形・・・面積3A-πが8個

正方形・・・面積4B-2πが18個

面積の合計は４πとなる。

しかしこれを等間隔の円弧部材で作ることはできそうである。→等辺の四角形は菱形であるが、3つの角度は等しくなることはないのでNG

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変形立方体を考える。

頂点には非正五角形ができる。

正三角形の内角をA,正方形の内角をBとする。

五角形の内角は(π-A,π-A,π-A, π-A, π-B)・・・面積は2π-4A-Bが２４個

正三角形・・・面積3A-πが32個

正方形・・・面積4B-2πが6個

面積の合計は４πとなる。

しかしこれを等間隔の円弧部材で作ることはできそうである。→等辺の五角形で、4つの角度が等しくなることはないのでこれもNG

したがって、

立方八面体と20・12面体以外では測地線からはずれることになるとはいえない。

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変形立方体を考える。

頂点には非正四角角形ができる。

正三角形の内角をA,正方形の内角をB,正五角形の内角をCとする。

四角形の内角は(π-B,π-A,π-B, π-C)・・・面積は2π-A-2B-Cが60個

正三角形・・・面積3A-πが20個

正方形・・・面積4B-2πが30個

正五角形・・・面積5C-3πが12個

面積の合計は４πとなる。

しかしこれを等間隔の円弧部材で作ることはできそうである。→しかし、対角線の長さや角度を指定する必要がある

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