N=5については非正5角形版を作成したが、それ以外では測地線条件を満たすことができるのだろうか？

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このための条件式を作るのは難しそうである。A+a＝πのような式が欲しいところであるが…

円弧でない四角形についてトレミーの定理：AC+BD=EFが成り立つ

正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

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　　sin(a/2)=A

　　sin(b/2)=B

　　sin(c/2)=C

　　sin(d/2)=D

　　sin(e/2)=E

　　sin(f/2)=F

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sin(a/2)sin(c/2)+sin(b/2)sin(d/2)=sin(e/2)sin(f/2)

これからefを消去したい。

ABC記号は角度を表すことにする。

S=A+B+C+D-2π

cose=cosacosb+sinasinbcosA=cosccosd+sincsindcosC

cosf=cosbcosc+sinbsincsinB=cosacosd+sinasindcosD

二等辺三角形について

T=4π-A-B-C-D

S+T=2π

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A=C,B=D,E^2=A^2＋B^2は長方形

sin^2(a/2)+sin^2(b/2)=sin^2(e/2)={1-cos(e)}/2

1-cosa+1-cosb={1-cos(e)}

cosa+cosb={1+cos(e)}

cose=cosacosb+sinasinbcosA

ABC記号は角度を表すことにする。A=B=C=D

cosa+cosb={1+cosacosb+sinasinbcosA}

b=2aとすると

cosa+2(cosa)^2-1=1+2(cosa)^3-cosa+2(sina)^2cosacosA

したがって、Aを決めなければaが決まらない。

A=2π/3とすると

cosa+2(cosa)^2-1=1+2(cosa)^3-cosa-(1-(cosa)^2)cosa=1+2(cosa)^3-cosa-cosa+(cosa)^3

=1-2cosa+3(cosa)^3

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（その５８）より

cosA=1-√2であることが確認されたが、その角度を保持したまま、長方形に変えてみたい

cosA=1-√2とすると

cosa+2(cosa)^2-1=1+2(cosa)^3-cosa+2(1-(cosa)^2)cosacosA

を解くことになる。

2cosa+2(cosa)^2-2-2(cosa)^3＝2(1-(cosa)^2)cosacosA

cosa+(cosa)^2-1-(cosa)^3＝(1-(cosa)^2)cosacosA

cosa-1+(cosa)^2(1-cosa)＝(1-(cosa)^2)cosacosA

1-(cosa)^2＝-(1+(cosa))cosacosA

これで面積を保ったまま、正方形を長方形に変えることができる。

(cosa)=1/√2

1/2＝（1+1/√2）1/√2（√2-1）＝（√2+1）（√2-1）/2＝1/2

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a=45,b=90となってしまった。b=2aとしたのが良くなかった。

b=1.5aとして

cosa+cosb={1+cosacosb+sinasinbcosA}

を解いてみる。

a=49.3409,a'=40.6591

b=74.0113,b'=15.9886

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N=4 a=65.5302だったからいい線なのではないだろうか？

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