N=5については非正5角形版を作成したが、それ以外では測地線条件を満たすことができるのだろうか？

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このための条件式を作るのは難しそうである。A+a＝πのような式が欲しいところであるが…

円弧でない四角形についてトレミーの定理：AC+BD=EFが成り立つ

正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

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a+a'=π/2

小二等辺三角形部分より

cosa=cos b'cosd'=sinbsind

cosb=sinasinc

cosc=sinbsind

cosd=sincsinaが成り立つ

ここで、abcdをαβγδに改める

cosα=sinδsinβ

cosβ=sinαsinγ

cosγ=sinβsinδ

cosδ=sinγsinα

五角形の場合の式と本質的に等しい式が出たのではなかろうか

a=(tanα)^2

b=(tanβ)^2

c=(tanγ)^2

d=(tanδ)^2

e=(tanε)^2

1+a=cd,1+b=de,1+c=ea,1+d=ab,1+e=bc

(cosα)^2=1/cd

(cosβ)^2=1/de

(cosγ)^2=1/ea

(cosδ)^2=1/ab

(cosε)^2)=1/bc

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a=(tanα)^2とおく

1+(tanα)^2＝1/(cosα)^2=1/(sinδsinβ)^2=(1+(tanδ)^2)/(tanδ)^2・(1+(tanβ^2)/(tanβ)^2=(1+d)/d・(1+b)/b

1+a=(1+b)/b・(1+d)/d

1+b=(1+c)/c・(1+a)/a

1+c=(1+d)/d・(1+b)/b

1+d=(1+a)/a・(1+c)/c

フリーズは形成できないが、

これらの式はペンタグラムでも成り立つ

1+e=(1+a)/a・(1+d)/d

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a=1, b=1とすると

2＝2・(1+d)/d

NG

a=1, b=2とすると

2＝3/2・(1+d)/d

4d=3(1+d),d=3

3=(1+c)/c・2

3c=2(1+c),c=2

3=4/3・3/2

1+c=4/3・3/2＝2,c=1

4＝2・2

a=1, b=3とすると

2＝4/3・(1+d)/d

6d=4(1+d),d=2

1+c=3/2・4/3,c=1

3＝2・2となって合わない

a=2, b=3とすると

3＝4/3・(1+d)/d

9d=4(1+d),d=4/5

1+c=9/4・4/3,c=2

9/5＝3/2・3/2となって合わない

a=2, b=4とすると

3＝5/4・(1+d)/d

12d=5(1+d),d=5/7

1+c=12/5・5/4,c=2

12/5＝3/2・3/2となって合わない

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90度を条件としている

1+a=(1+b)/b・(1+d)/d

1+b=(1+c)/c・(1+a)/a

1+c=(1+d)/d・(1+b)/b

1+d=(1+a)/a・(1+c)/c

a=c,b=dとおくと

1+a=(1+b)/b・(1+b)/b

1+b=(1+a)/a・(1+a)/a

b=(1+1/a)(1+1/a)-1=2/a+1/a^2=(2a+1)/a^2

1+b=(a+1)^2/a^2

1+a={(a+1)^2/(2a+1)}^2

(2a+1)^2=(a+1)^3

4a^2+4a+1=a^3+3a^2+3a+1

a^3-a^2-a=0

a=τ

b=（2τ+1）/τ＾2＝τ・・・これは正方形である

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