N=5については非正5角形版を作成したが、それ以外では測地線条件を満たすことができるのだろうか？

非正三角形の場合を考えてみたい。

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cosa=cosbcosc+sinbsinccosA

sinA=ksina

cosA=1-k^2(sina)^2=1-(1-(cosa)^2-(cosb)^2-cosc)^2+2cosacosbcoc)/(sinb)^2(sinc)^2

cosa=cosbcosc+sinbsinc-(1-(cosa)^2-(cosb)^2-(cosc)^2+2cosacosbcoc)/(sinb)(sinc)

cosa(sinb)(sinc)=cosbcosc(sinb)(sinc)+sinbsinc(sinb)(sinc)-(1-(cosa)^2-(cosb)^2-(cosc)^2+2cosacosbcoc)

cosa(sinb)(sinc)=cosbcosc(sinb)(sinc)+(1-(cosb)^2)(1-(cosc)^2)-(1-(cosa)^2-(cosb)^2-(cosc)^2+2cosacosbcoc)

cosa(sinb)(sinc)=cosbcosc(sinb)(sinc)+(cosb)^2(cosc)^2-(-(cosa)^2+2cosacosbcoc)

cosa(sinb)(sinc)=cosbcosc(sinb)(sinc)+{cosa-cosbcosc}^2

{cosa-cosbcosc}(sinb)(sinc)={cosa-cosbcosc}^2

(sinb)(sinc)={cosa-cosbcosc}

cosa=cos(b-c)??

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+sin(α）^2cosω

ここで、

ω=π-α・・・これが効いているのでαだけの式に直すことができている。

cosβ=(cosα)^2-sin(α）^2cosα

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2-（１−(cosα）^2)cosα=(cosα)^2-cosα+(cosα）^3

(cosα)に関する３次方程式となったが、n=5の場合は

cosα=1/τを代入すると

左辺=1-τ^2(1-1/τ)＝1-τ^2+τ=0

右辺=1/τ^2-1/τ+1/τ^3=−φ＋２-φ+１+ ２φ−３=0

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は既約3次方程式になることから、定規とコンパスで作図可能でないことが理解される。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

x^3+x^2-x-1=(x-1)(2cosπ/n)^2

=(x-1)(x^2+x+1)+x(x-1)

=(x-1)(x+1)^2=(x-1)(2cosπ/n)^2

(x+1)^2=(2cosπ/n)^2

x+1=(2cosπ/n)

x=(2cosπ/n)-1・・・n=5のときx=1/τ

n=3のとき、x=0

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右辺はｎが大きくなるにつれて大きくなるから、xは減少することになる。

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