N=5については非正5角形版を作成したが、それ以外では測地線条件を満たすことができるのだろうか？

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このための条件式を作るのは難しそうである。A+a＝πのような式が欲しいところであるが…

円弧でない四角形についてトレミーの定理：AC+BD=EFが成り立つ

正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

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　　sin(a/2)=A

　　sin(b/2)=B

　　sin(c/2)=C

　　sin(d/2)=D

　　sin(e/2)=E

　　sin(f/2)=F

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sin(a/2)sin(c/2)+sin(b/2)sin(d/2)=sin(e/2)sin(f/2)

これからefを消去したい。

ABC記号は角度を表すことにする。

S=A+B+C+D-2π

cose=cosacosb+sinasinbcosA=cosccosd+sincsindcosC

cosf=cosbcosc+sinbsincsinB=cosacosd+sinasindcosD

二等辺三角形について

T=4π-A-B-C-D

S+T=2π

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(1-cosa)(1-cosc)/4+2sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)sin(d/2)+(1-cosb)(1-cosd)/4=(1-cose)(1-cosf)/4

(1-cosa)(1-cosc)+8sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)sin(d/2)+(1-cosb)(1-cosd)=(1-cose)(1-cosf)

8sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)sin(d/2)=(1-cose)(1-cosf)-(1-cosa)(1-cosc)-(1-cosb)(1-cosd)

64(1-cosa)(1-cosb)(1-cosc)(1-cosd)/16=・・・これでは厳しすぎる

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