球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

ここで、α→2αに置き換える

cosβ=(cos2α)^2+(sin2α）^2cosω

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α)）=arccos｛1-2(φsin(α))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα）^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα）^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

cosβ=(cos2α)^2+(sin2α）^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα）^2

1-2φ^2(sinα)^2=(cos2α)^2+4(cosα）^2{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sinα)^2=8(cosα)^4-4(cosα）^3-4(cosα)^2+1

1-2φ^2{1-(cosα)^2}=8(cosα)^4-4(cosα）^3-4(cosα)^2+1

-2φ^2{1-(cosα)^2}=8(cosα)^4-4(cosα）^3-4(cosα)^2

-φ^2{1-(cosα)^2}=4(cosα)^4-2(cosα）^3-2(cosα)^2

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する4次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

4x^4-2x^3-2x^2=-(1-x^2)(2cosπ/n)^2

2x^2(x^2-x-1)=-(1-x^2)(2cosπ/n)^2

4次方程式、数値計算は必要である。

n=3のとき

4x^4-2x^3-2x^2=-1+x^2

α=52.93はこれを満たす

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n=4,α=33.95はこれを満たす

n=5,α=20.10はこれを満たす

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