球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2cosω

正三角形について、

ω’=π-ω

cos2α=(cos2α)^2+(sin2α）^2cosω'

cos2α=(cos2α)^2-(sin2α）^2cosω

cosω={(cos2α)^2-cos2α}/(sin2α）^2

cosβ=(cosα)^2+(sinα）^2{(cos2α)^2-cos2α}/(sin2α）^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+(sinα）^2{(cos2α)^2-cos2α}/4（cosα)^2(sinα）＾2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{(cos2α)^2-cos2α}/4（cosα)^2

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2+{2(cosα)^2-1}{(cosα)^2-1}}/2（cosα)^2

2(cosα)^2{1-φ^2(1-cosα)}=2(cosα)^4+{2(cosα)^2-1}{(cosα)^2-1}

2(cosα)^2{1-φ^2(1-cosα)}=4(cosα)^4-3(cosα)^2+1

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する4次方程式になる。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

4x^4-5x^2+1=2x^2(x-1)(2cosπ/n)^2

(x^2-1)(4x^2-1)=2x^2(x-1)(2cosπ/n)^2

(x+1)(2x+1)(2x-1)=2x^2(2cosπ/n)^2

3次方程式にはなったが、数値計算は必要である。

n=3のとき

4x^3+4x^2-x-1=2x^2

4x^3+2x^2-x-1=0

α=52.93はこれを満たす

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