昨年、立方八面体をねじった大円弧多面体と、菱形１２面体を捩じった大円弧多面体の設計をしたことがある。

前者 (ねじれ立方八面体）は大正方形６，大正三角形８，小菱形１２

後者（ねじれ菱形十二面体）は大菱形１２，小正方形６，小正三角形８

よりなる。

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昨年9月のメールのやりとりを見ると・・・

立方八面体と２０・１２面体とは、正多面体の双対の組み合わせであり、捩じってできる部分の形も菱形ですから、できることなら突き止めていただきたいと思います。

立方八面体からの小菱形の形状は何とも言えません。円弧の角度を決めれば菱形の内角も決まり面積が計算できると思っているのですが。そのときの大四角形と大三角形の面積との合計が４πになるかどうか。大まかな角度はわかっているのですから、角度の数値を追い込んでいくことができませんか。（中川宏）

カタラン立体を眺めていましたら、菱形１２面体に気が付きました。ねじりますと小正方形６，小正三角形８、大菱形１２となります。

菱形１２面体を球に投影したものの菱形の大きさを変えずにそのまま回転すればごく小さな正三角形と正方形ができ、大円弧を保てると思いますが。（中川宏）

この問題は何度にしても菱形の角度を変えながらかみ合ってしまう問題のようです。数学用語の「不定」にあたります。（佐藤郁郎）

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見逃していた条件がわかりました

昨年も同じような事例があったと思いますが、再計算しますので、どの事例かわかったら教えてください。（佐藤郁郎）

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結局、私が条件を見逃してしまったのが原因でした。

菱形の形は一意に決まり、正三角形と正方形の1辺の球面距離aは

前者 (ねじれ立方八面体）は大正方形６，大正三角形８，小菱形１２で、54.3274度

後者（ねじれ菱形十二面体）は大菱形１２，小正方形６，小正三角形８で、25.5275度となった。

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