小学生でも発見できる数の性質として

　２・２＝２＋２＝４

　１・２・３＝１＋２＋３＝６

　２^4＝４^2＝１６

など，同じ結果になる特異数があげられる．

120=3+3^2+3^3+3^4=2^3+2^4+2^5+2^6は難しいかもしれない

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　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

　　６５＝８^2＋１^2＝４^2＋７^2

　（その４）より，５０は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができる最小の整数であることが理解されます．

　３平方和問題（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ）（ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ）＝ｕ^2 ＋ｖ^2 ＋ｗ^2 は２平方和、４平方和の場合のようなわけにはいきません。３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです。

　それでも，３つの平方数の和として２通り以上に書ける数は知られていて

　　６２＝１^2＋５^2＋６^2＝２^2＋３^2＋７^2

　　１２９＝１０^2＋５^2＋２^2＝８^2＋７^2＋４^2＝８^2＋８^2＋１^2＋１１^2＋２^2＋２^2

　また、４平方和問題（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ＋ｄ^2 ）（ｐ^2 ＋ｑ^2 ＋ｒ^2 ＋ｓ^2 ）＝ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ＋ｗ^2 は

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち、４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています。そのため，４つの平方数の和として２通り以上に書ける数では

　　１７１８＝７^2＋１２^2＋２５^2＋３０^2＝４０^2＋９^2＋６^2＋１^2

などがあります．

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