素数定理には，ディリクレの算術級数定理などいろいろなバリエーションがありますが，ここでは双子素数予想と原始根予想を紹介します．素数に関する予想は素数定理以上にあるのです．

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【１】双子素数予想

その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．１００までの双子素数は（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），（２９，３１），（４１，４３），（５９，６１），（７１，７３）の８組．　１００から２００までの双子素数は（１０１，１０３），（１０７，１０９），（１３７，１３９），（１４９，１５１），（１７９，１８１），（１９１，１９３），（１９７，１９９）の７組．ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．

双子素数が無限に多く存在するかどうかはいまのところわかっていません．双子素数の場合に難しいのは素数全体のときと異なって，双子素数の逆数の和

１／３＋１／５＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・＋１／ｐ＋１／（ｐ＋２）＋・・・

が無限大とはならずに，その和が１．９０１９５・・・（ブルンの定数：１９１９年）となることが証明されている点です．このことは，双子素数が無限にあるとしても，まれにしか存在しないことを示しています．そのため，双子素数が無限に存在することの有力な証拠は見つかっているにもかかわらず，完全な証明には至っていないのです．

双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πt（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．

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（ラフプロット）素数定理によりｘ近辺の数が素数である確率はおよそ

　　１／ｌｏｇｘ

である．ｘ＋２が素数である確率もおよそ

　　１／ｌｏｇｘ

となるから，これらが双子素数となる確率はおよそ

　　１／（ｌｏｇｘ）^2

したがって，ｘ以下の双子素数の組の数はおよそ

　　ｘ／（ｌｏｇｘ）^2

となる．

　それではＣは何を意味しているのだろうか？　じつはｘとｘ＋２が素数となる確率は独立していないので，上の議論を修正しなければならない．そのための補正項がＣとなるのである．

任意に選んだ２数がともにｐで割り切れない確率は（１−１／ｐ）^2であるが，２つの数（ｐ，ｐ＋２）は差が２なので，両方ともｐで割り切れない確率は（１−２／ｐ）である．よって，奇素数ｐに対しては係数

　　（１−２／ｐ）／（１−１／ｐ）^2＝ｐ（ｐ−２）／（ｐ−１）^2

＝１−１／（ｐ−１）^2

素数２に対しては２をかけて補正を行う必要がある．そのための補正係数が双子素数係数

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

というわけである．

この法則は経験的には正しそうであり，双子素数はたぶん無限組あると信じられています．

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