【３】アダマールとプーサンの素数定理

素数定理は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問でしたが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは，同じ年に独立に，リーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明しました．

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【４】複素解析関数

実解析関数の変数を複素数に拡張することにより，未知の世界が開けてきます．

ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

ζ（−２）＝１2 ＋２2 ＋３2 ＋４2 ＋・・・＝０

正数の無限級数の総和が負や零になって，一見して目がくらんでしまいますが，これらの式は現代数論では当然のことのように使われています．パラドックスを引き起こした謎は，複素関数論の解析接続にあって，ｓを複素変数とするとき，ζ（ｓ）をすべての複素数に対して意味をもたせることができ，ｓを−１とすると値が−１／１２，２とすると値が０になるというわけです．もっと，詳しく述べるならば，複素平面上での特異点を避けながら，各経路で級数展開していくと上記の結果が得られます．

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