フラクタルが登場するまで，図形の次元は１か２か３に限られていた．幾何学では分数次元を想像することも可能であるが，中でも有名なのは「コッホ雪片」である．コッホ雪片ではまず１辺の長さ１の正三角形を描く．それぞれの辺を３等分し，真ん中の部分を取り除く．そこに同じ長さの辺でできたＶ字型を置く．この操作を何回も繰り返すと，雪の結晶のような形になる．

　周長は１回の操作ごとに１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^n→∞である．また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は

　　Ｓ＝√３／４＋√３／４・（１／３）^2・３＋√３／４・（１／９）^2・３・４＋√３／４・（１／２７）^2・３・４・４＋・・・＝√３／４＋√３／１２／（１−４／９）＝√３／４＋３√３／２０＝２√３／５である．つまり，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

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【１】コッホ曲線

　コッホ曲線では１回の操作ごとに全体の長さは１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^nである．この曲線は１次元の線ではない．また，同時に２次元でもない．そこで，このような曲線はフラクタル次元をもつといわれ，その次元は

　　ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

で，線の次元よりは上だが，面の次元よりは下になる．

　また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は不変で，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

　方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　コッホ曲線では，マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，

　　３^d＝４→ｄ＝ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

マス目の大きさを半分にした方眼紙であれば，２^1.26倍に増えるのである．

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【２】シェルピンスキーの三角形

　ます単純な三角形を描き，次にもとの三角形の半分の大きさの三角形を３つ作って，もとの三角形のそれぞれの隅におく（三角形を４つの合同な三角形に分割して中央の三角形を取り除く）．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は３倍になるから，そのフラクタル次元は

　　２^d＝３→ｄ＝ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝１．５８５

となる．

　その３次元版，ます単純な四面体を描き，次にもとの四面体の半分の大きさの四面体を４つ作って，もとの四面体のそれぞれの隅におく．これを無限回繰り返す．

　マス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，そのフラクタル次元は

　　２^d＝４→ｄ＝ｌｏｇ４／ｌｏｇ２＝２

となる．

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【３】シェルピンスキーのカーペット

　ます単純な正方形を描き，次にそれを同じ大きさの９つの正方形に分割して，中央の１個を取り除く．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は８倍になるから，そのフラクタル次元は

　　３^d＝８→ｄ＝３ｌｏｇ２／ｌｏｇ３

となる．

　その３次元版（メンガーのスポンジ）では，ます単純な立方体を描き，次に同じ大きさの２７個の正方形に分割して，体心と面心に位置する７個を取り除く．これを無限回繰り返す．

　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２０倍になるから，そのフラクタル次元は

　　３^d＝２０→ｄ＝ｌｏｇ２０／ｌｏｇ３

となる．

　細分が進むにつれて，メンガーのスポンジの体積はどんどん小さくなるが，表面積は際限なく増え続ける．

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　フラクタル幾何学の父と呼ばれるマンデルブロは，星々がフラクタル的に凸凹に配列されている宇宙モデルを提唱した．もしそうならオルバースのパラドックスはビックバン理論なしでも解決できるからである．

　ユークリッド幾何学が宇宙の滑らかさを表しているのに対して，フラクタル幾何学は宇宙のデコボコをよく表しているといわれる所以である．

　ブロッコリーのフラクタル次元は約２．８，海岸線は１．２８，人の肺は２．９７であるという．

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