１１^2＝１２１

　　１１^4＝１２１・１２１

この数の計算は面倒であるが，二項係数を知っている人にとって，この計算はたやすい．

　　１１^4＝１４６４１

　また，

　　（１２３・９＋４）^2＝１２３４３２１

の計算も面倒であるが，

１・９＋２＝１１

１２・９＋３＝１１１

１２３・９＋４＝１１１１

１２３４・９＋５＝１１１１１

１２３４５・９＋６＝１１１１１１

１２３４５６・９＋７＝１１１１１１１

１２３４５６７・９＋８＝１１１１１１１１

１２３４５６７８・９＋９＝１１１１１１１１１

１２３４５６７８９・９＋１０＝１１１１１１１１１１

として，自乗すると

１^2＝１

１１^2＝１２１

１１１^2＝１２３２１

１１１１^2＝１２３４３２１

１１１１１^2＝１２３４５４３２１

１１１１１１^2＝１２３４５６５４３２１

１１１１１１１^2＝１２３４５６７６５４３２１

１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８７６５４３２１

１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９８７６５４３２１

になり，ルール（アルゴリズム）が成り立つことがわかる．

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　１が連続する数を１の反復数（レプユニット）という．

１＝１

１１＝１１（素数）

１１１＝３・３７

１１１１＝１１・１０１

１１１１１＝４１・２７１

１１１１１１＝３・７・１１・１３・３７

１１１１１１１＝２３９・４６４９

１１１１１１１１＝１１・７３・１０１・１３７

１１１１１１１１１＝３・３・３７・３３３６６７

１１１１１１１１１１＝１１・４１・２７１・９０９１

１１１１１１１１１１１＝２１６４９・５１３２３９

　１０進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の形に書くことができる．１以外の数，たとえば７がｎ個並ぶ数は７で割れるから素数ではない．１の場合だけが明らかではないのだ．

　ｎ＝２，１９，２３，３１７，１０３１の場合，Ｒnは素数であることが知られている．素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はｎ＝４９０８１と８６４５３であるが，いまのところ，これ以外のレプユニット型素数は知られておらず，レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である．

これまでに知られている最大の例は２７０３４３個の1を並べるものですが、無限ともいえるほど大きなものもあるだろうと予想されている

（Ｑ）１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニット

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

が素数なのは，ｎが素数の場合に限ることを証明せよ．

（Ａ）一般に，ｂ進法のとき

　　（ｂ^mn−１）／（ｂ−１）＝｛（ｂ^m−１）／（ｂ−１）｝・（ｂ^mn-m＋・・・＋１）

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