１１^4はいくつか？　二項係数を知っている人にとって，この数は計算しやすいだろう．

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１^2＝１

１１^2＝１２１

１１１^2＝１２３２１

１１１１^2＝１２３４３２１

１１１１１^2＝１２３４５４３２１

１１１１１１^2＝１２３４５６５４３２１

１１１１１１１^2＝１２３４５６７６５４３２１

１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８７６５４３２１

１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９８７６５４３２１

　１が連続する数を２乗すると，数字が昇順・降順に整列する．筆算で計算してみると各行は１が連続する数が１桁ずつ左にずれていく．縦に見た各桁は１の重なりがだんだん増えていってやがて減少に転ずる．そのため，数字が昇順・降順に整列するのである．

１１１１^2＝１２３４３２１

は

１１１１ｘ（１０００＋１００＋１０＋１）と書き直しことができて

＝１１１１０００＋１１１１００＋１１１１０＋１１１１

＝１２３４３２１

のように４連の１１１１が右へ１個ずつずらされながら４回加えられる結果、１２３４３２１が得られることになります。

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　もちろん１が１０個以上連続する場合は繰り上がりが起こってしまうが，

１１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９［１０］９８７６５４３２１

１１１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９［１０］［１１］［１０］９８７６５４３２１

のように桁の繰り上がりを記述すれば前述のルールは成り立つ．

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　次に，１１のｎ乗数を並べて見ると

１１^0＝１

１１^1＝１１

１１^2＝１２１

１１^3＝１３３１

１１^4＝１４６４１

１１^5＝１５［１０］［１０］５１

１１^6＝１６［１５］［２０］［１５］６１

このようにパスカルの三角形は１１のｎ乗数が並んだものと見ることができるのである．以下，このタイプのパスカルの三角形を２パスカルの三角形と呼ぶことにする．

　しからば１１１^n，・・・，［１１・・・１k］^nについてはどうなるだろうと考えるのは自然な成り行きであろう．ｋパスカルの三角形のレポートが

　 ［参］松田修＋津山高専数学クラブ「１１からはじまる数学」東京図書

によくまとめられている．

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【１】ｋパスカルの三角形

１１１^0＝１

１１１^1＝１１１

１１１^2＝１２３２１

１１１^3＝１３６７６３１

１１１^4＝１４［１０］［１６］［１９］［１６］［１０］４１

１１１^5＝１５［１５］［３０］［４５］［５１］［４５］［３０］［１５］５１

　このように１１１^nの作る３パスカルの三角形の値は，上の段の隣り合った３つの値を足して得られることがわかります．３パスカルの三角形は（ｘ^2＋ｘ＋１）^nの係数列でもあります．

　一般に，ｋパスカルの三角形は同じ段の隣りあうｋ個の数をたすことで次の段の数が得られます．（ｘ^k-1＋・・・＋ｘ＋１）^nの係数列でもあるというわけです．

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【２】３パスカルの三角形の係数列

　オイラーは偶然にこの数が［ｘ^n］１／（１−２ｘ−３ｚ^2）^1/2であることを示したのだが，しかし、この係数を閉じた形に表すことはできない．

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