Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義する．Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞である．

【問】ｎ＞１ならばＨn は整数にはならないことを示せ．

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ａ）　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

は決して整数にはならない　　　（タイシンガー，１９１５年）

ｂ）　１／（ａ＋１）＋１／（ａ＋２）＋・・・＋１／（ａ＋ｎ）

は決して整数にはならない　　　（クルシュチャク，１９１８年）

ｃ）　１／（ａ＋ｄ）＋１／（ａ＋２ｄ）＋・・・＋１／（ａ＋ｎｄ）

は決して整数にはならない　　　（エルデシュ，１９３２年）

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調和級数とは各項の逆数が等差数列１／ａ、１／（ａ＋ｄ）、１／（ａ＋２ｄ）、１／（ａ＋３ｄ）・・・

になっている数列の和をいいます。

a=d=1→1/1+1/2+1/3+・・・

a=d=2→1/2+1/4+1/6+・・・

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