［１］三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数：ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数：ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数：ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数：ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数：ｎ（６ｎ−４）／２

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　一般に，ｍ角数の第ｎ項は，多角形の辺数ｍは公差よりも２だけ大きいことから，初項１，公差ｍ−２の等差数列の和：

　　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

で与えられることがわかります．

　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数△nとはｎ（ｎ＋１）／２，四角数□nとはｎ^2の形の自然数，すなわち平方数です．また，五角数☆nはｎ（３ｎ−１）／２で表されます．

　多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので，ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから，代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう．そうすると，ｎ−１番目の三角数をΔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２とすると，多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

　　ｎ＋（ｍ−２）Δn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

とも考えることができるのです．

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多角数がいずれも三角数の組み合わせで表現できるわけではないように思われますが、以下のようにすれば三角数の組み合わせで表現可能です。

n^2=△n+△n-1＝n(n+1)/2+n(n-1)/2

ｎ（３ｎ−１）／２=△n+2△n-1=n(n+1)/2+2n(n-1)/2

ｎ（４ｎ−２）／２=△n+3△n-1=n(n+1)/2+3n(n-1)/2

ｎ（５ｎ−３）／２=△n+4△n-1=n(n+1)/2+4n(n-1)/2

ｎ（６ｎ−４）／２=△n+5△n-1=n(n+1)/2+5n(n-1)/2

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六角数：ｎ（４ｎ−２）／２＝ｎ（２ｎ−１）

Σ六角数＝n(n+1)(2n+1)/3-n(n+1)/2=2n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)/6=n(n+1)(4n+2-3)/6=n(n+1)(4n-1)/6

n=1のとき:1

n=2のとき:7

n=3のとき:22

n=4のとき:50

となりますが、この並び方でなく、中心の周りに六角格子状に並べることにすると

1重目に１個、

2重目に６個、計７個（素数）

3重目に12個、計19個（素数）

4重目に18個、計37個（素数）

5重目に24個、計61個（素数）

6重目に30個、計91個（7・13非素数）

7重目に36個、計127個（素数）

8重目に42個、計169個（13・13非素数）

が並びます。

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六角格子では長さの２乗が0のベクトルは1個

1のベクトルは6個

3のベクトルは6個

4のベクトルは6個

7のベクトルは12個と数えていけば、この格子のテータ関数は

1+6q+6q^3+6q^4+12q^7+・・・

であることがわかる.

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