エルデシュは

　　Ｎ（ｑ）＝ｑ！Σ１／ｋ！

と予想している．これによると，Ｎ（４）＝６５であるが，Ｋ65に対する良い４配色は見いだされていない．つまり，Ｎ（４）＝６５であると証明されているわけではないことに注意．

　Ｎ（ｑ）はラムゼー理論と密接な関係にあるが，高次ラムゼー数の大多数はまだ知られていないのである．

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　Ｋ6の頂点からは５本の線が発せられている．Ｎ（１）＝２であり，

　　５＞２＋２

であるから最低でも２色のうちどれかひとつの色は３回出現している．それが赤だと仮定する．この線分の先端にある３点のうち２点が赤で結ばれていたとすれば赤い三角形を形成する．どの２点も赤で結ばれていないとすると青い三角形を形成する．

　Ｋ17の頂点からは１６本の線が発せられている．Ｎ（２）＝６であり，

　　１７＞６＋６＋６

であるから最低でも３色のうちどれかひとつの色は７回出現している．それが赤だと仮定する．この線分の先端にある７点のうち２点が赤で結ばれていたとすれば赤い三角形を形成する．どの２点も赤で結ばれていないとすると別色の三角形を形成する．

　Ｋ66の頂点からは６５本の線が発せられている．Ｎ（３）＝１６であり，

　　６５＞１６＋１６＋１６＋１６

であるから最低でも４色のうちどれかひとつの色は１７回出現している．それが赤だと仮定する．この線分の先端にある１７点のうち２点が赤で結ばれていたとすれば赤い三角形を形成する．どの２点も赤で結ばれていないとすると別色の三角形を形成するというわけである．

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